Question

選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=log₂（|2x+1|+|x+2|-m）．
（1）當(dāng)m=4時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范圍．

Answer 1

（1）當(dāng)m=4時(shí)，函數(shù)f（x）=log₂（|2x+1|+|x+2|-4），故有|2x+1|+|x+2|＞4．
故有 ①

-2x-1-x-2＞4 x＜-2

，或 ②

-2x-1+ (x+2)＞4  -2≤x＜- 1 2

，或 ③

2x+1+ (x+2)＞4  x ≥- 1 2

．
解①得 x＜-

7

3

； 解②得 x∈∅； 解③得 x＞

1

3

．
取并集可得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?nbsp; {x|x＜-

7

3

或x＞

1

3

}．-----（5分）
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥1的解集是R，則有|2x+1|+|x+2|-m≥2，即  m≤|2x+1|+|x+2|-2．
令  g(x)=|2x+1|+|x+2|-2=

-3x-5，x≤-2 -x-1，-2＜x＜- 1 2 3x+1，x≥- 1 2

，可得g(x)≥-

1

2

，即 g（x）的最小值等于-

1

2

∴m≤-

1

2

．-------（5分）