Question

已知f（x）=3-4^x+2xln2，數(shù)列{a_n} 滿足：-＜a₁＜0，=f（a_n） （n∈N^*）
（1）求f（x）在[-，0]上的最大值和最小值；
（2）用數(shù)學歸納法證明：-＜a_n＜0；
（3）判斷a_n與a_n+1（n∈N^*）的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求導函數(shù)，從而可得f（x）=3-4^x+2xln2在[-，0]上是增函數(shù)，進而可求f（x）的最大值與最小值；
（2）當n=1時，由已知可知命題成立；假設(shè)當n=k時命題成立，即成立，則當n=k+1時，由（1）得=f（a_k），故可得證．
（3），構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-2^x+1，可證g（x）在[-，0]上是減函數(shù)，從而可得，故得解．
解答：解：（1）f′（x）=（1-4^x）ln4…（1分）
當時，，∴f′（x）＞0
∴f（x）=3-4^x+2xln2在[-，0]上是增函數(shù)，…（2分）
∴f（x）的最大值為：f（0）=2 …（3分）
f（x）的最小值為：…（4分）
（2）①當n=1時，由已知可知命題成立；…（5分）
②假設(shè)當n=k時命題成立，即成立，
則當n=k+1時，由（1）得=f（a_k）
又，
∴
∴，
這就是說，當n=k+1時命題成立．…（7分）
由①，②可知，命題對于n∈N^*都成立．…（8分）
（3）
記g（x）=f（x）-2^x+1，得g′（x）=f′（x）-2^x+1ln2=（1-2^x-4^x）ln4
當時，
故
所以g′（x）＜0，得g（x）在[-，0]上是減函數(shù)，…（10分）
∴g（x）＞g（0）=f（0）-2=0
∴
即
∴a_n+1＞a_n…（12分）
點評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查數(shù)學歸納法，同時考查構(gòu)造法的運用，解題的關(guān)鍵是正確運用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值．