Question

試討論函數(shù)f（x）=log_a

x+1

x-1

（a＞0且a≠1）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并予以證明．

Answer 1

設(shè)u=

x+1

x-1

，任取x₂＞x₁＞1，則
u₂-u₁=

x2+1

x2-1

-

x1+1

x1-1

=

(x2+1)(x1-1)-(x1+1)(x2-1)

(x2-1)(x1-1)

=

2(x1-x2)

(x2-1)(x1-1)

．
∵x₁＞1，x₂＞1，∴x₁-1＞0，x₂-1＞0．
又∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0．
∴

2(x1-x2)

(x2-1)(x1-1)

＜0，即u₂＜u₁．
當(dāng)a＞1時，y=log_ax是增函數(shù)，∴l(xiāng)og_au₂＜log_au₁，
即f（x₂）＜f（x₁）；
當(dāng)0＜a＜1時，y=log_ax是減函數(shù)，∴l(xiāng)og_au₂＞log_au₁，
即f（x₂）＞f（x₁）．
綜上可知，當(dāng)a＞1時，f（x）=log_a

x+1

x-1

在（1，+∞）上為減函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜1時，f（x）=log_a

x+1

x-1

在（1，+∞）上為增函數(shù)．