Question

已知函數(shù)f(x)=

ex

x2-ax+1

(a≥0)，
（Ⅰ）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a=

2

3

，不等式f（x）≥kx對于任意的x∈R恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)函數(shù)，然后討論a，得到導(dǎo)數(shù)符號，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）分離參數(shù)，確定函數(shù)的最值，即可求得k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=

ex(x-1)[x-(a+1)]

(x2-ax+1)2

，
當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)镽，f′（x）=

ex(x-1)2

(x2+1)2

≥0，∴f（x）在R上單調(diào)遞增
當(dāng)a∈（0，2）時(shí)，∵△=a²-4＜0∴x²-ax+1＞0恒成立，函數(shù)定義域?yàn)镽，又a+1＞1，
∴f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，（1，1+a）單調(diào)遞減，（1+a，+∞）單調(diào)遞增
當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋?∞，1）∪（1，+∞），f′（x）=

ex(x-3)

x-1

∴f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，（1，3）上單調(diào)遞減，（3，+∞）上單調(diào)遞增
當(dāng)a∈（2，+∞）時(shí)，∵△=a²-4＞0，設(shè)x²-ax+1=0的兩個(gè)根為x₁，x₂，且x₁＜x₂，
由韋達(dá)定理易知兩根均為正根，且0＜x₁＜1＜x₂，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，x₁）∪（x₂，+∞）
又對稱軸x=

a

2

＜a+1，且（a+1）²-a（a+1）+1=a+2＞0，x₂＜a+1
∴f（x）在（-∞，x₁），（x₁，1）單調(diào)遞增，（1，x₂），（x₂，a+1）上單調(diào)遞減，（1+a，+∞）單調(diào)遞增；
（Ⅱ）若a=

2

3

，f(x)=

ex

x2- 2 3 x+1

的定義域?yàn)镽，f(x)=

ex

x2- 2 3 x+1

＞0恒成立
由（Ⅰ）知，f（x）在（-∞，1），（3，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，3）上單調(diào)遞減，f（0）=1
∴k＜0，不等式f（x）≥kx在（-∞，0）上不恒成立，∴k≥0
不妨考慮x＞0，則k≤

ex

x3- 2 3 x2+x

設(shè)g（x）=

ex

x3- 2 3 x2+x

，則g′（x）=

ex(x-3)[(x- 1 3 )2+ 8 9 ]

(x3- 2 3 x2+x)2

∴g（x）在（0，3）上單調(diào)遞減，（3，+∞）上單調(diào)遞增
∴g（x）_min=g（3）=

e3

24

∴k的取值范圍是k∈[0，

e3

24

]．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和計(jì)算能力，屬于難題．