Question

等差列數(shù){a_n}中，3a₁+2a₅=21，2a₄=a₃+a₆-2，其前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

Sn+1-1

，其前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜

3

4

（n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由3a₁+2a₅=21，2a₄=a₃+a₆-2，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a₁=1，d=2，由此能求出a_n．
（2）由a₁=1，d=2，知S_n=n²．從而得到b_n=

1

Sn+1-1

=

1

(n+1)2-1

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），由此利用裂項(xiàng)求和法證明T_n＜

3

4

．

解答： 解：（1）等差數(shù)列{a_n}中，
∵3a₁+2a₅=21，2a₄=a₃+a₆-2，
∴

3a1+2a1+8d=21 2a1+6d=a1+2d+a1+5d-2

，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）∵a₁=1，d=2，
∴S_n=n+

n(n-1)

2

×2=n²．
∴b_n=b_n=

1

Sn+1-1

=

1

(n+1)2-1

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）=

3

4

-

1

2

（

1

n+1

+

1

n+2

）＜

3

4

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．屬于中檔題．