Question

如圖，某幾何體中，正三棱柱ABC-A′B′C′的所有棱長(zhǎng)都為2，四邊形ABCD是菱形，其中P為AC的中點(diǎn)．
（1）求B′P與DC′所成角的大��；
（2）求該幾何體的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）根據(jù)異面直線所成角的定義，作出異面直線B′P與DC′所成的角，再求出它的大小；
（2）該幾何體的體積是四棱錐D-AA′C′C的體積與三棱柱ABC-A′B′C′的體積的和．

解答： 解：（1）連接AB′，PB，如圖所示；
∵AD∥BC，且AD=BC，
∴AD∥B′C′，且AD=B′C′，
∴四邊形ADC′B′是平行四邊形，
∴DC′∥AB′，且DC′=AB′；
∴∠AB′P是異面直線B′P與DC′所成的角；
在△AB′P中，
AP=

1

2

AC=1，
AB′=

AB2+BB′2

=2

2

，
B′P=

BP2+BB′2

=

7

，
∴AP²+B′P²=AB^′2；
∴△AB′P是Rt△；
∴cos∠AB′P=

B′P

AB′

=

7

2 2

=

14

4

，
∴∠AB′P=arccos

14

4

，
即異面直線B′P與DC′所成的角是arccos

14

4

；
（2）該幾何體的體積是
V=V_{四棱錐D-AA′C′C}+V_{三棱柱ABC-A′B′C′}
=

1

3

×2²×

3

+

1

2

×2×

3

×2=

10 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間中的異面直線所成的角的計(jì)算問(wèn)題，也考查了求空間幾何體的體積的問(wèn)題，求空間中的異面直線所成的角，關(guān)鍵是找角，是基礎(chǔ)題．