Question

已知數(shù)列{a_n}的通項公式為an=

1

n(n+1)

(n∈N*)，其前n項和

S

n

=

9

10

，則雙曲線

x2

n+1

-

y2

n

=1的漸近線方程為（　�。�

• A、y=±

  2 2

  3

  x
• B、y=±

  3 2

  4

  x
• C、y=±

  3 10

  10

  x
• D、y=±

  10

  3

  x

Answer 1

分析：根據(jù)數(shù)列{a_n}的通項利用裂項求和算出S_n，代入題中解出n=9，可得雙曲線的方程為

x2

10

-

y2

9

=1，再用雙曲線的漸近線方程的公式即可算出該雙曲線的漸近線方程．

解答：解：∵數(shù)列{a_n}的通項公式為an=

1

n(n+1)

(n∈N*)，
∴an=

1

n

-

1

n+1

，可得

S

n

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)+(

1

n

-

1

n+1

)=

9

10

即1-

1

n+1

=

9

10

，解之得n=9．
∴雙曲線的方程為

x2

10

-

y2

9

=1，得a=

10

，b=3
因此該雙曲線的漸近方程為y=±

b

a

x，即y=±

3 10

10

x．
故選：C

點評：本題給出數(shù)列的前n項和，求項數(shù)n并求與之有關(guān)的雙曲線漸近線方程．著重考查了數(shù)列的通項與求和、雙曲線的標準方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．