Question

如圖1，四棱錐中，底面，面是直角梯形，為側棱上一點．該四棱錐的俯視圖和側（左）視圖如圖2所示．   

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）證明：∥平面；

（Ⅲ）線段上是否存在點，使與所成角的余弦值為？若存在，找到所有符合要求的點，并求的長；若不存在，說明理由．

 

 

 

Answer 1

【答案】

(I)詳見解析；（II）詳見解析；（III）點位于點處，此時；或中點處，此時.

【解析】

試題分析：(I)建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，線和面內兩相交直線垂直，則線垂直面；(II)線與面內一直線平行，則線面平行；(III)利用數(shù)量積公式可得兩直線夾角余弦.

試題解析：【方法一】

（Ⅰ）證明：由俯視圖可得，，

 

所以．          1分

又因為 平面，

所以 ，          3分

所以 平面．                                          4分

（Ⅱ）證明：取上一點，使，連結，．        5分

由左視圖知 ，所以 ∥，．      6分

在△中，易得，所以 ．又 ， 所以， ．

又因為 ∥，，所以 ∥，．

所以四邊形為平行四邊形，所以 ∥．                8分

因為 平面，平面，

所以 直線∥平面．                                      9分

（Ⅲ）解：線段上存在點，使與所成角的余弦值為．證明如下：10分

因為 平面，，建立如圖所示的空間直角坐標系．

所以 ．

設 ，其中．                                    11分

所以，．

要使與所成角的余弦值為，則有 ，   12分

所以 ，解得 或，均適合．  13分

故點位于點處，此時；或中點處，此時，有與所成角的余弦值為．                                                        14分

                                                         

【方法二】

（Ⅰ）證明：因為平面，，建立如圖所示

的空間直角坐標系．

在△中，易得，所以 ，

因為 ， 所以， ．

由俯視圖和左視圖可得：

．

所以 ，．

因為 ，所以．         2分

又因為 平面，所以 ，                      3分

所以 平面．                                          4分

（Ⅱ）證明：設平面的法向量為，則有

因為 ，，

所以   取，得．                 6分           

因為 ，

所以 ．                        8分

因為 平面，

所以 直線∥平面．                                      9分

（Ⅲ）解：線段上存在點，使與所成角的余弦值為．證明如下：10分

設 ，其中．                                    11分

所以 ，．

要使與所成角的余弦值為，則有 ，  12分

所以 ，解得或，均適合．   13分

故點位于點處，此時；或中點處，此時，有與所成角的余弦值為．                                                        14分

考點：1.空間直角坐標系的建立，線垂直面；2.線面平行；利用數(shù)量積公式.