Question

已知橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（-

1

2

，-

3

），離心率為

3

2

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（0，t）作圓x²+y²=1的切線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，把△AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積表示為t的函數(shù)f（t），并求函數(shù)f（t）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件設(shè)橢圓C的方程為：

y2

4b2

+

x2

b2

=1，再由橢圓C過點(diǎn)（-

1

2

，-

3

），能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由題意知|m|≥1．設(shè)切線l的方程為y=kx+m，由由

y=kx+t y2 4 + x2 2 =1

，得（k²+4）x²+2ktx+t²-4=0，得，利用韋達(dá)定理結(jié)合題設(shè)條件能求出S_△AOB．

解答： 解：（1）∵橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（-

1

2

，-

3

），離心率為

3

2

，
∴

c

a

=

3

2

，∴a=2b，
設(shè)橢圓C的方程為：

y2

4b2

+

x2

b2

=1，
∵橢圓C過點(diǎn)（-

1

2

，-

3

），
∴

3

4b2

+

1

4b2

=1，∴b=1，a=2，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

4

+x2=1．…（4分）
（2）由題意知，|t|≥1．
由題設(shè)知切線l的斜率存在，設(shè)切線l的方程為y=kx+t，
由

y=kx+t y2 4 + x2 2 =1

，得（k²+4）x²+2ktx+t²-4=0，
設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂），
則x1+x2=-

2kt

k2+4

，x1x2=

t2-4

k2+4

，…（6分）
又∵l與圓x²+y²=1相切，
∴

|t|

k2+1

=1，k²=t²-1，
∴|AB|=

(1+k2)[(- 2kt k2+4 )2-4• t2-4 k2+4 )]

=

4 3 |t|

t2+3

，
∴S_△AOB=

1

2

|AB|=

2 3 |t|

t2+3

，t∈（-∞，-1]∪[1，+∞）
∴S_△AOB=

2 3

|t|+ 3 |t|

≤

2 3

2 |m|• 3 |m|

=1（當(dāng)且僅當(dāng)t=±

3

時取等號）
∴當(dāng)t=±

3

時，S_△AOB的最大值為1．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、均值不等式的合理運(yùn)用．