Question

已知實(shí)數(shù)x，y滿足

y≥2 x+y+4≥0 x-y-2≤0

，則|

y

x

|的最小值為

1

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，為圖中陰影部分，設(shè)P（x，y）是區(qū)域內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，得

y

x

=K_OP是原點(diǎn)與P點(diǎn)連線的斜率．運(yùn)動(dòng)P點(diǎn)并觀察斜率的變化，可得得

y

x

≥

1

2

或

y

x

≤-

1

3

，從而得到當(dāng)且僅當(dāng)P與A重合時(shí)，|

y

x

|的最小值為

1

3

．

解答：解：設(shè)直線l₁：y=2，l₂：x+y+4=0，l₃：x-y-2=0
作出三條直線在坐標(biāo)系內(nèi)的圖形如右圖，設(shè)點(diǎn)A、B分別是
l₁、l₂的交點(diǎn)和l₁、l₃的交點(diǎn)
可得不等式組

y≥2 x+y+4≥0 x-y-2≤0

表示的平面區(qū)域是在l₂和l₃的上方，且在線段AB上方的陰影部分
設(shè)P（x，y）是區(qū)域內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，由

y

x

=K_OP，
是原點(diǎn)與P點(diǎn)連線的斜率，
將P點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，可得當(dāng)P在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，K_OP為正數(shù)，當(dāng)P與B重合時(shí)，K_OP達(dá)到最小值
當(dāng)P在第二象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，K_OP為負(fù)數(shù)，當(dāng)P與A重合時(shí)，K_OP達(dá)到最大值
∵l₁、l₂的交點(diǎn)A（-6，2），l₁、l₃的交點(diǎn)B（4，2）
∴OA的斜率K₁=

2

-6

=-

1

3

，OB的斜率K₂=

2

4

=

1

2

．
由此可得

y

x

≥

1

2

或

y

x

≤-

1

3

，取絕對(duì)值，得|

y

x

|≥

1

3

，最小值為

1

3

當(dāng)且僅當(dāng)P與A重合時(shí)，|

y

x

|的最小值為

1

3

故答案為：

1

3

點(diǎn)評(píng)：本題給出不等式組表示的平面區(qū)域，求區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)比值的絕對(duì)值最小值，考查了直線的斜率和二元一次不等式組表示平面區(qū)域等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．