如圖，在△ABC中，sin
∠ABC
2
=
3
3
，AB=2，點D在線段AC上，且AD=2DC，BD=
4
3
3
，則cosC=
 
．
考點：余弦定理,正弦定理
專題：解三角形
分析：利用二倍角的余弦函數(shù)公式即可求出cos∠ABC的值，設(shè)BC=a，AC=3b，由AD=2DC得到AD=2b，DC=b，在三角形ABC中，利用余弦定理得到關(guān)于a與b的關(guān)系式，在三角形ABD和三角形DBC中，利用余弦定理分別表示出cos∠ADB和cos∠BDC，由于兩角互補，得到cos∠ADB等于-cos∠BDC，兩個關(guān)系式互為相反數(shù)，得到a與b的另一個關(guān)系式，求出a．，b即可得到結(jié)論．
解答： 解：因為sin
∠ABC
2
=
3
3
，所以cos∠ABC=1-2sin2
∠ABC
2
=1-2×（
3
3
）2=1-2×
1
3
=
1
3
，
在△ABC中，設(shè)BC=a，AC=3b，
由余弦定理可得9b2=a2+4-
4
3
a：①
在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得：cos∠ADB=
4b2+
16
3
-4
16
3
3
b
，
cos∠BDC=
b2+
16
3
-a2
8
3
3
b
，
因為cos∠ADB=-cos∠BDC，所以有
4b2+
16
3
-4
16
3
3
b
-
b2+
16
3
-a2
8
3
3
b
，
所以3b2-a2=-6 ②
由①②可得a=3，b=1，即BC=3，AC=3．
則cosC=
AC2+BC2-AB2
2AC•BC
=
32+32-22
2×3×3
=
7
9
，
故答案為：
7
9
點評：本題主要考查余弦定理和正弦定理的應(yīng)用，考查學(xué)生靈活運用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及余弦定理化簡求值，有一定的難度．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A={y∈N|y=x2-4x+6}，B={y∈N|y=-x2-2x+5}，求A∩B，并用例舉法和描述法兩種方法表示．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）對于任意的x，y∈R滿足f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＜0．
（1）證明：f（x）是奇凼數(shù)；
（2）判斷 f（x）在R上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

證明下列三角恒等式
（1）
tanαsinα
tanα-sinα
=
tanα+sinα
tanαsinα

（2）
2sinxcosx
(sinx+cosx-1)(sinx-cosx+1)
=
1+cosx
sinx
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若不等式x2-px+q=0的解集為（-
1
2
，
1
3
），則不等式qx2+px+1＞0的解集為（　　）
A、（-3，2）
B、（-2，3）
C、（-
1
3
，
1
2
）
D、（-
1
2
，
1
3
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某廠生產(chǎn)一種機器的固定成本（即固定投入）為6萬元，但生產(chǎn)一百臺需要另增加0.5萬元．市場對此產(chǎn)品的年需求量為7百臺（年產(chǎn)量可以多于年需求量），銷售的收入函數(shù)為R（x）=7x-
x2
2
（0≤x≤7）（單位：萬元），其中x是產(chǎn)品年生產(chǎn)量（單位：百臺），且x∈N．
（Ⅰ）把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；
（Ⅱ）年產(chǎn)量是多少時，工廠所得利潤最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知acosA=ccosC，那么△ABC一定是
 
三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列判斷中正確的是（　�。�
A、函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，2）內(nèi)單調(diào)遞增
B、函數(shù)f（x）在區(qū)間（-5，2）內(nèi)單調(diào)遞減
C、函數(shù)f（x）在區(qū)間（5，8）內(nèi)單調(diào)遞減
D、函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，5）內(nèi)為單調(diào)函數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)y=
1
2
log 
1
2
2x+log 
1
2
x+5在區(qū)間[2，8]上的最大值和最小值．

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同步練習(xí)冊答案