Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₄=-3，S₅=-25，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{|a_n|}的前20項(xiàng)和T₂₀．

Answer 1

分析：（1）依題意，列方程組

a1+3d=-3 5a1+10d=-25

，解得首項(xiàng)a₁與公差d，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）知a_n=2n-11，當(dāng)n≤5時(shí)，a_n＜0；當(dāng)n≥6時(shí)，a_n＞0，于是可求得T₂₀=|a₁|+|a₂|+…+|a₂₀|=-2（a₁+a₂+…+a₅）+（a₁+a₂+…+a₅+a₆+a₇+…+a₂₀），從而利用等差數(shù)列的求和公式即可得到答案．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則由條件得

a1+3d=-3 5a1+10d=-25

，…（4分）
解得

a1=-9 d=2

，…（6分）
所以{a_n}通項(xiàng)公式a_n=-9+2（n-1），即a_n=2n-11．…（7分）
（2）令2n-11≥0，解得n≥

11

2

，…（8分）
∴當(dāng)n≤5時(shí)，a_n＜0；當(dāng)n≥6時(shí)，a_n＞0，…（9分）
∴T₂₀=|a₁|+|a₂|+…+|a₂₀|=-（a₁+a₂+…+a₅）+a₆+a₇+…+a₂₀…（10分）
=-2（a₁+a₂+…+a₅）+（a₁+a₂+…+a₅+a₆+a₇+…+a₂₀）
=-2S₅+S₂₀…（12分）
=-2[5×（-9）+

5×4

2

×2]+[20×（-9）+

20×19

2

×2]
=250．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查方程思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，（2）中求得T₂₀=-2S₅+S₂₀是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查推論分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．