已知直線l：y=kx+1與雙曲線C：
x2
3
-y2=1的左支交于點(diǎn)A，右支交于點(diǎn)B、
（Ⅰ）求斜率k的取值范圍；
（Ⅱ）若△AOB的面積為
6
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的方程．
分析：（I）將直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立得到關(guān)于x的二次方程，根據(jù)兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)異號(hào)，利用韋達(dá)定理得到兩個(gè)橫坐標(biāo)的積，令其小于0求出k的范圍．
（II）根據(jù)直線l：y=kx+1的縱截距為1，利用三角形的面積公式表示出△AOB的面積，利用韋達(dá)定理表示出|x2-x1|，解方程求出k的值，得到直線l的方程．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）
由
y=kx+1
x2-3y2-3=0
?(1-3k2)x2-6kx-6=0
由題意
1-3k2≠0
△=36k2+24(1-3k2)＞0?-
3
3
＜k＜
3
3
x1x2=
-6
1-3k2
＜0

（Ⅱ）S△ABC=
1
2
×1×|x2-x1|
∵
x1+x2=
6k
1-3k2
x1x2=
-6k
1-3k2

∴S△ABC=
1
2
(x1+x2)2-4x1x2
=
1
2
24-36k2
1-3k2
=
6-9k2
1-3k2
=
6
?k=0或k=±
2
2
，又-
3
3
＜k＜
3
3
∴k=0
則直線l的方程為y=1
點(diǎn)評(píng)：解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，一般采用的方法是將直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，得到關(guān)于某未知數(shù)的二次方程，再利用韋達(dá)定理找突破口來(lái)解決．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線l：y=kx+k+1，拋物線C：y2=4x，定點(diǎn)M（1，1）．
（I）當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)F時(shí)，求點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)N是否在拋物線C上；
（II）當(dāng)k（k≠0）變化且直線l與拋物線C有公共點(diǎn)時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（a，1）關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q（x0，y0），求x0關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式x0=f（k）；若P與M重合時(shí)，求x0的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線l：y=kx+1與橢圓
x2
2
+y2=1交于M、N兩點(diǎn)，且|MN|=
4
2
3
．求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，已知圓M：（x+1）2+y2=8及定點(diǎn)N（1，0），點(diǎn)P是圓M上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為PN的中點(diǎn)，PM上一點(diǎn)G滿足
GQ
•
NP
=0
（1）求點(diǎn)G的軌跡C的方程；
（2）已知直線l：y=kx+m與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，E（0，1），是否存在直線l，使得點(diǎn)N恰為△ABE的垂心？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線l：y=kx+b是橢圓C：
x24
+y2=1的一條切線，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左右焦點(diǎn)．
（1）過(guò)F1，F(xiàn)2作l的垂線，垂足分別為M，N，求|F1M|•|F2M|的值；
（2）若直線l與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的最小值，并求此時(shí)直線l的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線l：y=kx-1與雙曲線C：x2-y2=4
（1）如果l與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的值；
（2）如果l與C的左右兩支分別相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，且|x1-x2|=2
5
，求k的值．

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