【題目】已知函數的最大值為.
(1)若關于的方程的兩個實數根為,求證:;
(2)當時,證明函數在函數的最小零點處取得極小值.
【答案】(1)見解析;(2)見解析.
【解析】分析:(1)本小問的解決方法是利用這個條件,得到含有的等式,對等式進行變形處理,使得等式左邊是,右邊是分式。則求證目標不等式等價于證等式右端的部分,運用作差比較法構造函數,對運用導數進行研究,即可證明原不等式;
(3)討論函數的單調性,取絕對值得到的分段形式,若證明,則證明,記,求導分析單調性即可證得.
詳解:(1),由,
得;由,得;
所以,的增區(qū)間為,減區(qū)間為,
所以,
不妨設,∴,
∴,
∴,∴,∴,
設,則,
所以,在上單調遞增,,則,
因,故,所以;
(2)由(1)可知,在區(qū)間單調遞增,又時,,
易知,在遞增,,
∴,且時,;時,,
當時,,
于是時,,
所以,若證明,則證明,
記,
則,
∵,∴,
∴在內單調遞增,∴,
∵,
∴在內單調遞增,
∴,
于是時,.
所以在遞減.
當時,相應的.
所以在遞增.
故是的極小值點.
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【題目】如圖是正四面體的平面展開圖,分別是的中點,在這個正四面體中:①與平行;②與為異面直線;③與成60°角;④與垂直.以上四個命題中,正確命題的個數是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】如圖所示,海中一小島C周圍nmile內有暗礁,貨輪由西向東航行至A處測得小島C位于北偏東75°方向上,航行8nmile后,于B處測得小島C在北偏東60°方向上.
(1)如果這艘貨輪不改變航向繼續(xù)前進,有沒有觸礁的危險?請說明理由.
(2)如果有觸礁的危險,這艘貨輪在B處改變航向為南偏東α°(α>0)方向航行,順利繞過暗礁,求a的最大值.(附:)
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【題目】2018年央視大型文化節(jié)目《經典詠流傳》的熱播,在全民中掀起了誦讀詩詞的熱潮.某大學社團調查了該校文學院300名學生每天誦讀詩詞的時間(所有學生誦讀時間都在兩小時內),并按時間(單位:分鐘)將學生分成六個組:,,,,,,經統(tǒng)計得到了如圖所
示的頻率分布直方圖
(Ⅰ)求頻率分布直方圖中的值,并估計該校文學院的學生每天誦讀詩詞的時間的平均數;
(Ⅱ)若兩個同學誦讀詩詞的時間滿足,則這兩個同學組成一個“Team”,已知從每天誦讀時間小于20分鐘和大于或等于80分鐘的所有學生中用分層抽樣的方法抽取了5人,現從這5人中隨機選取2人,求選取的兩人能組成一個“Team”的概率.
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【題目】有下列4個命題:
(1)“若,則互為相反數”的否命題
(2)“若,則”的逆否命題
(3)“若,則”的否命題
(4)“若,則有實數根”的逆命題
其中真命題的個數是( )
A.1B.2C.3D.4
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【題目】
如圖,在四面體中,點分別是棱的中點.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求證:四邊形為矩形;
(Ⅲ)是否存在點,到四面體六條棱的中點 的距離相等?說明理由.
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