Question

3．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1，（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+$\sqrt{6}$=0）且不垂直于x軸直線l橢圓C相交于A、B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$取值范圍；
（Ⅲ）若B關(guān)于x軸的對稱點是E，證明：直線AE與x軸相交于定點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率得到a，b的關(guān)系式${a}^{2}=\frac{4}{3}^{2}$，由原點到直線x-y+$\sqrt{6}$=0的距離求得b，則a可求，橢圓方程可求；                           
（Ⅱ）由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x-4），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由△＞0得k的范圍，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到A，B兩點的橫坐標(biāo)的和與積，代入$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$，結(jié)合k的范圍可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$取值范圍；                                   
（Ⅲ）由B、E兩點關(guān)于x軸對稱，得到E（x₂，-y₂），寫出直線AE的方程，求出直線在x軸上的截距x=1，則可說明直線AE與x軸交于定點（1，0）．

解答 （Ⅰ）解：由題意知$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴${e}^{2}=\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$，即${a}^{2}=\frac{4}{3}^{2}$，
又$b=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{1+1}}=\sqrt{3}$，∴a²=4，b²=3，
故橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；                           
（Ⅱ）解：由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x-4），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$得：（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0．
由△=（-32k²）²-4（4k²+3）（64k²-12）＞0得：${k}^{2}＜\frac{1}{4}$．
設(shè)A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{32{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{64{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$　�、�
∴y₁y₂=k（x₁-4）k（x₂-4）=${k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}-4{k}^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+16{k}^{2}$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=（1+{k^2}）\frac{{64{k^2}-12}}{{4{k^2}+3}}-4{k^2}•\frac{{32{k^2}}}{{4{k^2}+3}}+16{k^2}=25-\frac{87}{{4{k^2}+3}}$，
∵$0≤{k}^{2}＜\frac{1}{4}$，∴$-\frac{87}{3}≤\frac{87}{4{k}^{2}+3}＜-\frac{87}{4}$，則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}∈[-4，\frac{13}{4}）$．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范圍是$[-4，\frac{13}{4}）$；                                   
（Ⅲ）證明：∵B、E兩點關(guān)于x軸對稱，∴E（x₂，-y₂），
直線AE的方程$y-{y_1}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}（x-{x_1}）$，令y=0，得$x={x_1}-\frac{{{y_1}（{x_1}-{x_2}）}}{{{y_1}+{y_2}}}$，
又y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4），
∴$x=\frac{{2{x_1}{x_2}-4（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}+{x_2}-8}}$，
將①代入上式并整理得：x=1，
∴直線AE與x軸交于定點（1，0）．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查了橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，涉及直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，常采用把直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解，訓(xùn)練了平面向量在求解圓錐曲線問題中的應(yīng)用，是壓軸題．