Question

已知函數(shù)f（x）=

ax+b

x2+1

（a＞0）
（Ⅰ）求證：f（x）必有兩個極值點，一個是極大值點，-個是極小值點；
（Ⅱ）設f（x）的極小值點為α，極大值點為β，f（α）=-1，f（β）=1，求a、b的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設g（x）=f（e^x），若對于任意實數(shù)x，g（x）≤

2

2+mx2

恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）利用極值的定義證明即可；
（Ⅱ）利用韋達定理，結合f（α）=-1，f（β）=1，求a、b的值；
（Ⅲ）原問題可化為m≤

ex+e-x-2

x2

對一切x∈（-∞，0）∪（　�。�，+∞）恒成立，構造函數(shù)，研究函數(shù)的值域，即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答： （Ⅰ）證明：f′（x）=-

ax2+2bx-a

(x2+1)2

令f′（x）=ax²+2bx-a=0           …（2分）
△＞0，∴f′（x）=0有兩實根不妨記為α，β

x	（-∞，α）	α	（α，β）	β	（β，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）		極小		極大

∴f（x）有兩個極值點，一個極大值點一個極小值點                              …（4分）
（Ⅱ）解：ax²+2bx-a=0，由韋達定理得α+β=-

2b

a

∵f（α）=-1，f（β）=1，
∴α²+αα+b+1=0，β²-αβ-b+1=0．
∴（α+β）（α-β）=0…（6分）
∴α+β=0，
∴b=0，α=-1，β=1，∴a=2                           …（7分）
（Ⅲ）解：∵g（x）=f（e^x），
∴m≥0                             …（8分）
當x=0時，不等式恒成立
∴原問題可化為m≤

ex+e-x-2

x2

對一切x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立
設u（x）=

ex+e-x-2

x2

，則u′（x）=

x(ex-e-x)-2(ex+e-x-2)

x3

設h（x）=（e^x-e^-x）x-2（e^x+e^-x-2），
∴h′（x）=（e^x+e^-x）x-（e^x-e^-x），h″（x）=（e^x-e^-x）x，
當x＞0時，e^x＞e^-x，∴h″（x）＞0，當x＜0時，e^x＜e^-x，∴h″（x）＞0，
∴h′（x）在R上單調遞增，
又∵h′（0）=0
∴當x＞0時，h′（0）＞0，當x＜0時，h′（0）＜0
∴h（x）在（-∞，0）上遞減，（0，+∞）遞增，
∴h（x）＞h（0）=0           …（10分）
∴當x＞0時，u′（x）＞0，當x＜0時，u′（x）＜0，
∴u（x）在（-∞，0）上遞減，（0，+∞）遞增，
∴x→0，u（x）→1
∴0≤m≤1．                                                …（12分）

點評：本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調性，正確構造函數(shù)的關鍵．