分析:(1)由題意得:
-<-1,令t=sinx∈[-1,1]則
f(sinx)=f(t)=a(t+)2-,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得:當(dāng)t=1即
x=2kπ+時,f(sinx)有最大值
a+1=,
可得
a=,進而求出二次函數(shù)的解析式,即可得到函數(shù)的最小值.
(2)由題意得:-1≤asin
2x+sinx≤1,令t=sinx則t∈[0,1],可得-1≤at
2+t≤1對任意t∈[0,1]恒成立,分別討論:當(dāng)x=0時(此時顯然成立)與當(dāng)x≠0時,
對任意t∈[0,1]恒成立,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)分別求出兩個函數(shù)的最值,進而得到答案.
解答:解:(1)由題意可得:
0<a<,
∴
-<-1.
令t=sinx∈[-1,1]則
f(sinx)=f(t)=at2+t=a(t+)2-,
∴根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得:當(dāng)t=1即sinx=1
⇒x=2kπ+(k∈Z)時,f(sinx)有最大值
a+1=,
∴
a=所以
f(x)=x2+x=(x+2)2-1,
所以f
min(x)=f(2)=-1.
(2)由|f(sinx)|≤1得:-1≤asin
2x+sinx≤1,
令t=sinx則t∈[0,1],
∴-1≤at
2+t≤1對任意t∈[0,1]恒成立
當(dāng)x=0時,f(t)=0使|f(sinx)|≤1成立
當(dāng)x≠0時,
對任意t∈[0,1]恒成立,
∵t∈[0,1],
∴
≥1則
(-)2-≥0;
-(+)2+≤-2,
∴-2≤a≤0,
故a的范圍[-2,0].
點評:解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),即二次函數(shù)定區(qū)間內(nèi)求最值,本題主要考查不等式恒成立問題,解決此類問題的關(guān)鍵是把恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想與分析問題、解決問題的能力.