已知二次函數(shù)f(x)=ax2+x(a∈R且a≠0),
(1)當(dāng)0<a<
1
2
時,f(sinx)的最大值為
5
4
,求f(x)的最小值.
(2)若x∈[0,
π
2
]
時,|f(sinx)|≤1恒成立,求a的范圍.
分析:(1)由題意得:-
1
2a
<-1
,令t=sinx∈[-1,1]則f(sinx)=f(t)=a(t+
1
2a
)
2
-
1
4a
,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得:當(dāng)t=1即x=2kπ+
π
2
時,f(sinx)有最大值a+1=
5
4
,
可得a=
1
4
,進而求出二次函數(shù)的解析式,即可得到函數(shù)的最小值.
(2)由題意得:-1≤asin2x+sinx≤1,令t=sinx則t∈[0,1],可得-1≤at2+t≤1對任意t∈[0,1]恒成立,分別討論:當(dāng)x=0時(此時顯然成立)與當(dāng)x≠0時,
a≤
1
t2
-
1
t
=(
1
t
-
1
2
)2-
1
4
a≥-
1
t2
-
1
t
=-(
1
t
+
1
2
)2+
1
4
對任意t∈[0,1]恒成立,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)分別求出兩個函數(shù)的最值,進而得到答案.
解答:解:(1)由題意可得:0<a<
1
2
,
-
1
2a
<-1

令t=sinx∈[-1,1]則f(sinx)=f(t)=at2+t=a(t+
1
2a
)2-
1
4a
,
∴根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得:當(dāng)t=1即sinx=1⇒x=2kπ+
π
2
(k∈Z)時,f(sinx)有最大值a+1=
5
4
,
a=
1
4

所以f(x)=
1
4
x2+x=
1
4
(x+2)2-1
,
所以fmin(x)=f(2)=-1.
(2)由|f(sinx)|≤1得:-1≤asin2x+sinx≤1,
令t=sinx則t∈[0,1],
∴-1≤at2+t≤1對任意t∈[0,1]恒成立
當(dāng)x=0時,f(t)=0使|f(sinx)|≤1成立
當(dāng)x≠0時,
a≤
1
t2
-
1
t
=(
1
t
-
1
2
)2-
1
4
a≥-
1
t2
-
1
t
=-(
1
t
+
1
2
)2+
1
4
對任意t∈[0,1]恒成立,
∵t∈[0,1],
1
t
≥1
(
1
t
-
1
2
)2-
1
4
≥0
-(
1
t
+
1
2
)2+
1
4
≤-2
,
∴-2≤a≤0,
故a的范圍[-2,0].
點評:解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),即二次函數(shù)定區(qū)間內(nèi)求最值,本題主要考查不等式恒成立問題,解決此類問題的關(guān)鍵是把恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想與分析問題、解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
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已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
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f(x)x-1

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