Question

【題目】已知函數(shù) .

(1)當(dāng)時(shí)，證明： ；

(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）時(shí)， 即證,只需證明,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得，從而可得原不等式成立；(2) 依題在上恒成立，討論三種情況：①當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增； ,符合題意；②當(dāng)時(shí)， ,不符合題意，舍去；③當(dāng)存在部分不合題意，綜合三種情況可得結(jié)果.

試題解析：證明：(1)當(dāng)時(shí)，即證： ,

,令，

則,當(dāng)時(shí)，有.

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，有.當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減， .取等號(hào)條件不致，

（此問(wèn)可以參考如圖理解）. .

(2)依題在上恒成立，

令,

又令,所以當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，

,因此,

，討論：

①當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增； ,符合題意

②當(dāng)時(shí)， ,不符合題意，舍去.

③當(dāng).

,當(dāng)時(shí)， 在時(shí)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞減， ，不符合題意舍去.

綜上： .