Question

已知函數(shù)f(x)=

2x+1

x+1

．
（Ⅰ） 證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅱ） 求該函數(shù)在區(qū)間[1，4]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用函數(shù)的單調(diào)性定義證明f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．
（Ⅱ）由f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，直接得f（x）在區(qū)間[1，4]上的最大值與最小值．

解答：解：（Ⅰ） 任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
則x₂-x₁＞0，f（x₂）-f（x₁）=

2x2+1

x2+1

-

2x1+1

x1+1

=

x2-x1

(x1+1)(x2+1)

；
∵x₂-x₁＞0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂）；
∴函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數(shù)f（x）在[1，4]上是增函數(shù)．
∴最大值為f（4）=

2×4+1

4+1

=

9

5

，
最小值為f（1）=

2×1+1

1+1

=

3

2

．

點評：本題考查了用定義證明函數(shù)的單調(diào)性以及利用單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，是基礎(chǔ)題．