Question

【題目】提高過(guò)江大橋的車(chē)輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車(chē)流速度v（單位：千米/小時(shí)）是車(chē)流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)．當(dāng)橋上的車(chē)流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車(chē)流速度為0；當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車(chē)流速度為60千米/小時(shí)．研究表明：當(dāng)時(shí)，車(chē)流速度是車(chē)流密度的一次函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的表達(dá)式；

（2）當(dāng)車(chē)流密度為多大時(shí)，車(chē)流量（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）可以達(dá)到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時(shí)）

Answer 1

【答案】（1）；

（2）當(dāng)車(chē)流密度為輛/千米時(shí)，車(chē)流量達(dá)到最大，且最大值約輛/小時(shí).

【解析】試題分析：（1）設(shè)v（x）=ax+b.利用x的范圍，列出方程組求解a，b，即可得到函數(shù)的解析式；（2）求出車(chē)流量f（x）=v（x）x的表達(dá)式，然后求解最大值即可

試題解析：（1）由題意：當(dāng)0≤x≤20時(shí)，v（x）＝60；

當(dāng)20≤x≤200時(shí)，設(shè)v（x）＝ax＋b，

再由已知得解得故函數(shù)v（x）的表達(dá)式為

（2）依題意并由（1）可得

f（x）＝

當(dāng)0≤x≤20時(shí)，f（x）為增函數(shù)，故當(dāng)x＝20時(shí)，其最大值為60×20＝1200；

當(dāng)20≤x≤200時(shí)，f（x）＝x（200－x）≤ []2＝，

當(dāng)且僅當(dāng)x＝200－x，即x＝100時(shí)，等號(hào)成立.

所以，當(dāng)x＝100時(shí)，f（x）在區(qū)間上取得最大值.

綜上，當(dāng)x＝100時(shí)，f（x）在區(qū)間上取得最大值≈3 333，

即當(dāng)車(chē)流密度為100輛/千米時(shí)，車(chē)流量可以達(dá)到最大，最大值約為3 333輛/小時(shí).