Question

已知點(diǎn)F（-

3

，0）（c＞0）是雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1的左焦點(diǎn)，過(guò)F且平行于雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)與拋物線(xiàn)y=

x2

6

+

3

2

相切，則該雙曲線(xiàn)的離心率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)雙曲線(xiàn)方程為

x2

a2

-

y2

3-a2

=1，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±

3-a2

a

x，由已知條件推導(dǎo)出方程±

3-a2

a

(x+

3

)=

x2

6

+

3

2

只有一個(gè)解，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：∵點(diǎn)F（-

3

，0）（c＞0）是雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1的左焦點(diǎn)，
∴設(shè)雙曲線(xiàn)方程為

x2

a2

-

y2

3-a2

=1，
∴雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±

3-a2

a

x，
∴過(guò)F且平行于雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的直線(xiàn)方程為y=±

3-a2

a

（x+

3

），
∵過(guò)F且平行于雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)y=

x2

6

+

3

2

相切，
∴方程±

3-a2

a

(x+

3

)=

x2

6

+

3

2

只有一個(gè)解，
整理，得

x2

6

-

3-a2

a

x+

3

2

-

9-3a2

a

=0或

x2

6

+

3-a2

a

x+

3

2

+

9-3a2

a

=0，
∴△=

3-a2

a2

-

2

3

（

3

2

-

9-3a2

a

）=0或△=

3-a2

a2

-

2

3

（

3

2

+

9-3a2

a

）=0，
解得a²=

9

2

（舍），a²=

3

4

，a=

3

2

，e=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的離心率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．