如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=1,AA1=2,D、E分別是BB1、CC1的中點(diǎn),M是DE的中點(diǎn).
(1)求證:平面ADE⊥平面AMA1
(2)試問能否在線段AC1上找一點(diǎn)N,使得直線MN與平面ADA1平行?請說明理由;
(3)求三棱錐A1-ADE的體積.
分析:(1)證明平面ADE⊥平面AMA1,需證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,由M為DE的中點(diǎn),可由已知條件得到AD=AE,A1D=A1E,由線面垂直的判定得到DE⊥平面A1AM,從而由面面垂直的判定得到結(jié)論;
(2)由M為DE的中點(diǎn),可猜測取N為AC1中點(diǎn),連結(jié)BC1后由三角形的中位線的性質(zhì)得到直線MN與平面ADA1平行;
(3)借助于等積法把三棱錐A1-ADE的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐D-A1AE的體積求解.
解答:(1)證明:如圖,
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∵AB=AC=1,且D、E分別是BB1、CC1的中點(diǎn),
∴可得AD=AE,A1D=A1E,又M是DE的中點(diǎn),
∴AM⊥DE,A1M⊥DE,又AM∩A1M=M,
∴DE⊥平面A1AM,而DE?平面ADE,∴平面ADE⊥平面AMA1;
(2)解:N為AC1中點(diǎn)時,直線MN與平面ADA1平行.
事實(shí)上,連結(jié)BC1,則M∈BC1,
M是BC1的中點(diǎn),N為AC1的中點(diǎn),
∴MN∥AB,又AB?ADA1,MN?ADA1,
∴直線MN與平面ADA1平行;
(3)∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,∴AB⊥平面A1AE.
即AB的長度為D到平面A1AE的距離,而SA1AE=
1
2
AC•AA1=
1
2
×1×2=1

VA1-ADE=VD-A1AE=
1
3
SA1AE•AB=
1
3
×1×1=
1
3
點(diǎn)評:本題考查了直線與平面平行的判定,考查了平面與平面垂直的判定,訓(xùn)練了利用等積法求棱錐的體積,考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力,是中檔題.
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如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點(diǎn),且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值; 

(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離.

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(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;   

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