Question

17．已知：${（{\sqrt{x}-\frac{1}{{2\root{4}{x}}}}）^n}$的展開式中前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列．
（1）證明：展開式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；
（2）求展開式中的所有x的整數(shù)次冪的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出前三項(xiàng)的系數(shù)，列出方程求出n，再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，令x的指數(shù)為0得到常數(shù)項(xiàng)，由方程無(wú)解得證；
（2）令展開式中的x的指數(shù)為有理數(shù)，求出k值，再寫出相應(yīng)的有理項(xiàng)．

解答 解：依題意，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值是1，C¹_n（$\frac{1}{2}$），C²_n（$\frac{1}{2}$）²，
且2C¹_n•$\frac{1}{2}$=1+C²_n（$\frac{1}{2}$）²，
即n²-9n+8=0，解得n=8或n=1（不合題意，舍去），
∴展開式的第k+1項(xiàng)為
C^k₈（$\sqrt{x}$）^8-k（-$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）^k
=（-$\frac{1}{2}$）^kC^k₈•${x}^{\frac{8-k}{2}}$•${x}^{-\frac{k}{4}}$
=（-$\frac{1}{2}$）^k•C^k₈•${x}^{\frac{16-3k}{4}}$；
（1）證明：若第k+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{16-3k}{4}$=0，即3k=16，
由k∈Z得這是不可能的，
所以其展開式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；
（2）若第k+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{16-3k}{4}$為整數(shù)，
∵0≤k≤8，k∈Z，∴k=0，4，8，
即展開式中的有理項(xiàng)共有三項(xiàng)，它們是：
T₁=x⁴，T₅=$\frac{35}{8}$x，T₉=$\frac{1}{256}$x^-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問(wèn)題，是綜合性題目．