定義在（0，+∞）上函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（y）=f（xy），且當x＞1時，f（x）＜0，若不等式f(
x2+y2
)≤f(
xy
)+f(a)對任意x，y∈（0，+∞）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．
分析：先根據(jù)條件證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)性，然后化簡不等式，根據(jù)
x2+y2
≥
2xy
恒成立建立關(guān)系式即可．
解答：解：設(shè)x1＞x2＞0，則
x1
x2
＞1
∵f（x）+f（y）=f（xy），
∴f（x）-f（y）=f（
x
y
），
f（x1）-f（x2）=f（
x1
x2
）＜0（x＞1時，f（x）＜0）
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減函數(shù)
∵f(
x2+y2
)≤f(
xy
)+f(a)
∴f（
x2+y2
）≤f（a
xy
）
即
x2+y2
≥a
xy

x2+y2
≥
2xy
≥a
xy

∴a≤
2

故答案為：0＜a≤
2
點評：本題主要考查抽象函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的應用，屬于中檔題，單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì)．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在（0，1）上的函數(shù)f（x），對任意的m，n∈（1，+∞）且m＜n時，都有f(
1
n
)-f(
1
m
)=f(
m-n
1-mn
)記an=f(
1
n2+5n+5
)，n∈N*，則在數(shù)列{an}中，a1+a2+…a8=（　�。�
A、f(
1
2
)
B、f(
1
3
)
C、f(
1
4
)
D、f(
1
5
)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在（0，1）上的函數(shù)，且滿足：①對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②對任意x1，x2∈（0，1），恒有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2，則下面關(guān)于函數(shù)f（x）判斷正確的是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•順義區(qū)二模）已知定義在區(qū)間[0，
3π
2
]上的函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=
3π
4
對稱，當x≥
3π
4
時，f（x）=cosx，如果關(guān)于x的方程f（x）=a有解，記所有解的和為S，則S不可能為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

填空題
（1）已知
cos2x
sin(x+
π
4
)
=
4
3
，則sin2x的值為
1
9
1
9
．
（2）已知定義在區(qū)間[0，
3π
2
]上的函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=
3π
4
對稱，當x≥
3π
4
時，f（x）=cosx，如果關(guān)于x的方程f（x）=a有四個不同的解，則實數(shù)a的取值范圍為
(-1，-
2
2
)
(-1，-
2
2
)
．

（3）設(shè)向量
a
，
b
，
c
滿足
a
+
b
+
c
=
0
，(
a
-
b
)⊥
c
，
a
⊥
b
，若|
a
|=1，則|
a
|2+|
b
|2+|
c
|2的值是
4
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•湖州二模）定義在（0，
π
2
）上的函數(shù)f（x），f′（x）是它的導函數(shù)，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，則（　　）

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