Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為；直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.直線l與曲線C分別交于M，N兩點(diǎn).

（1）寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；

（2）若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，，求的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）2.

【解析】

（1）由得，求出曲線的直角坐標(biāo)方程.由直線的參數(shù)方程消去參數(shù)，即求直線的普通方程；

（2）將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式（為參數(shù)），代入曲線的直角坐標(biāo)方程，韋達(dá)定理得，點(diǎn)在直線上，則，即可求出的值.

（1）由可得，

即，即，

曲線的直角坐標(biāo)方程為，

由直線的參數(shù)方程（t為參數(shù)），消去得，

即直線的普通方程為.

（Ⅱ）點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，則點(diǎn)在直線上.

將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式（為參數(shù)），代入曲線的直角坐標(biāo)方程，整理得，

直線與曲線交于兩點(diǎn)，

，即.

設(shè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，

由韋達(dá)定理可得，

.

點(diǎn)在直線上，，

.