Question

已知函數(shù)f(x)=

3

2

sinπx+

1

2

cosπx，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值及相應(yīng)的x的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）在[-1，1]上的圖象與x軸的交點(diǎn)從左到右分別為M、N，圖象的最高點(diǎn)為P，求

PM

與

PN

的夾角的余弦．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（I）利用兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，直接求函數(shù)f（x）的最大值和最小值及相應(yīng)的x的值；
（Ⅱ）求出M、N，圖象的最高點(diǎn)為P的坐標(biāo)，即可直徑求

PM

與

PN

的夾角的余弦．

解答： 解：（I）∵f(x)=

3

2

sinπx+

1

2

cosπx=sin（πx+

π

6

）．
∴函數(shù)的最大值為1，最小值為-1．
當(dāng)πx+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z時(shí)函數(shù)取得最大值，此時(shí)x=2k+

1

3

．k∈Z．
當(dāng)πx+

π

6

=2kπ-

π

2

，k∈Z時(shí)函數(shù)取得最小值，此時(shí)x=2k-

2

3

．k∈Z．
（Ⅱ）由函數(shù)的圖象以及函數(shù)的表達(dá)式可知，M（-

1

6

，0），
N（

5

6

，0），P（

1

3

，1），

PM

=（-

1

2

，-1），

PN

=（

1

2

，-1），
∴

PM

與

PN

的夾角的余弦cosθ=

PM • PN

| PM || PN |

=

- 1 4 +1

(- 1 2 )2+1 • ( 1 2 )2+1

=

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的最值的求法，向量的數(shù)量積的求法，考查計(jì)算能力．