Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：S_n=2a_n+（-1）ⁿ，n≥1．
（1）寫出求數(shù)列{a_n}的前3項(xiàng)a₁，a₂，a₃；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）證明：對任意的整數(shù)m＞4，有．

Answer 1

【答案】分析：（1）是考查已知遞推公式求前幾項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題，需注意的是S₁=a₁，需要先求出a₁才能求出a₂，這是遞推公式的特點(diǎn)．
（2）的解答需要利用公式進(jìn)行代換，要注意n=1和n≥2的討論，在得到a_n=2a_n-1+2（-1）^n-1，可以設(shè)構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列；
（3）的解答需要在代換后，適當(dāng)?shù)淖冃�，利用不等式放縮法進(jìn)行放縮．
解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，有：S₁=a₁=2a₁+（-1）⇒a₁=1；
當(dāng)n=2時(shí)，有：S₂=a₁+a₂=2a₂+（-1）²⇒a₂=0；
當(dāng)n=3時(shí)，有：S₃=a₁+a₂+a₃=2a₃+（-1）³⇒a₃=2；
綜上可知a₁=1，a₂=0，a₃=2；
（2）由已知得：a_n=S_n-S_n-1=2a_n+（-1）ⁿ-2a_n-1-（-1）^n-1
化簡得：a_n=2a_n-1+2（-1）^n-1
上式可化為：
故數(shù)列{}是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列．
故∴
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為：．
（3）由已知得：=====．
故（m＞4）．
點(diǎn)評：本題考查的遞推數(shù)列較為典型，對公式的應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)，要能熟練的應(yīng)用．另外本題（2）中對構(gòu)造數(shù)列的考查較好，（3）中不等式證明中的放縮是一個(gè)難點(diǎn)，需要有扎實(shí)的基本功及一定的運(yùn)算能力，對運(yùn)算放縮能力要求較高．