Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．
（1）證明：PA∥平面EDB；
（2）證明：PB⊥平面EFD．
（3）若AB=4，BC=3，求點C到平面PBD的距離．

Answer 1

證明：（1）連接AC交BD與O，連接EO．
∵底面ABCD是矩形，
∴點O是AC的中點．
又∵E是PC的中點
∴在△PAC中，EO為中位線
∴PA∥EO．（3分）
而EO?平面EDB，PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB．（5分）
（2）由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．
∵底面ABCD是矩形，
∴DC⊥BC，
∴BC⊥平面PDC，而DE?平面PDC，
∴BC⊥DE．①（8分）
∵PD=DC，E是PC的中點，
∴△PDC是等腰三角形，DE⊥PC．②
由①和②得DE⊥平面PBC．
而PB?平面PBC，
∴DE⊥PB．
又EF⊥PB且DE∩EF=E，
∴PB⊥平面EFD．（10分）
（3）O為BD的中點，故CO⊥BD．
∵面BCD⊥面PBD．
∴CO為點C到平面PBD的距離．
在Rt△BCD中，BC=3，CD=4，
由面積法得：CO=．
故 點C到平面PBD的距離為：（14分）
分析：（1）連接AC，設AC∩BD=0，連接EO，底面是正方形，可得OE為△PAC的中位線，再利用直線與平面平行的判定定理進行證明，即可解決問題；
（2）PD⊥平面AC，BC?平面AC，所以BC⊥PD，而BC⊥CD，PD∩CD=D，可得BC⊥平面PDC在△PDC為等腰三角形中證明DE⊥平面PBC，從而求證．
（3）O為BD的中點，故CO⊥BD．面BCD⊥面PBD．得出CO為點C到平面PBD的距離．在Rt△BCD中，BC=3，CD=4，
由面積法得點C到平面PBD的距離即可．
點評：此題考查直線與平面平行的判斷及直線與平面垂直的判斷，此類問題一般先證明兩個面平行，再證直線和面平行，這種做題思想要記住，此類立體幾何題是每年高考必考的一道大題，同學們要課下要多練習．