設(shè)數(shù)列{b
n}的前n項(xiàng)和為S
n，且b
n=2-2S
n；數(shù)列{a
n}為等差數(shù)列，且a
5=14，a
7=20．
（1）求數(shù)列{b
n}的通項(xiàng)公式；
（2）若c
n=a
n•b
n，n=1，2，3，…，T
n為數(shù)列{c
n}的前n項(xiàng)和．求證：
．
【答案】
分析：（1）由題設(shè)條件知
．
，b
n=2-2S
n，b
n-b
n-1=-2（S
n-S
n-1）=-2b
n．
，由此可求出數(shù)列{b
n}的通項(xiàng)公式．
（2）數(shù)列{a
n}為等差數(shù)列，公差
，可得a
n=3n-1．從而
，由此能證明數(shù)列{c
n}的前n項(xiàng)和
．
解答：解：（1）由b
n=2-2S
n，令n=1，則b
1=2-2S
1，又S
1=b
1，
所以
．b
2=2-2（b
1+b
2），則
．．
當(dāng)n≥2時，由b
n=2-2S
n，可得b
n-b
n-1=-2（S
n-S
n-1）=-2b
n．即
．．
所以{b
n}是以
為首項(xiàng)，
為公比的等比數(shù)列，于是
．
（2）數(shù)列{a
n}為等差數(shù)列，公差
，可得a
n=3n-1．
從而c
n=a
n•b
n=2（3n-1）•
∴
=
．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的靈活運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
數(shù)列{a
n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，S
n為其前n項(xiàng)和，對于任意n∈N
*，總有a
n，S
n，a
n2成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b
n}的前n項(xiàng)和為T
n，且
bn=，求證：對任意實(shí)數(shù)x∈（1，e]（e是常數(shù)，e=2.71828…）和任意正整數(shù)n，總有T
n＜2；
（3）正數(shù)數(shù)列{c
n}中，a
n+1=（c
n）
n+1（n∈N
*），求數(shù)列{c
n}中的最大項(xiàng)．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
設(shè)數(shù)列{a
n}的前n項(xiàng)和為S
n，對任意的正整數(shù)n，都有a
n=5S
n+1成立，記b
n=
（n∈N*）
（1）求數(shù)列{a
n}與數(shù)列{b
n}的通項(xiàng)公式；
（2）記c
n=b
2n-b
2n-1 （n∈N*），設(shè)數(shù)列{c
n}的前n項(xiàng)和為T
n，求證：對任意正整數(shù)n都有T
n＜
；
（3）設(shè)數(shù)列{b
n}的前n項(xiàng)和為R
n，是否存在正整數(shù)k，使得R
k≥4k成立？若存在，找出一個正整數(shù)k；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
數(shù)列{a
n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，S
n為其前n項(xiàng)和，對于任意的n∈N
*，總有a
n，S
n，a
n2成等差數(shù)列．
（1）求a
1；
（2）求數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)數(shù)列{b
n}的前n項(xiàng)和為T
n，且b
n=
，求證：對任意正整n，總有T
n＜2．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知數(shù)列a
1=1，a
n+1=a
n2+4a
n+2，
（1）求數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式．
（2）設(shè)b
n=
+
，設(shè)數(shù)列{b
n}的前n項(xiàng)的和S
n．試證明：S
n＜1．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
（2011•重慶三模）已知函數(shù)
f(x)=，若數(shù)列{an}滿足an=f(an+1)(n∈N*)，且a1=1．
（I）求證：數(shù)列
{}是等差數(shù)列；
（II）令b
n=a
na
n+1（n∈N
*），設(shè)數(shù)列{b
n}的前n項(xiàng)和為S
n，求使得
Sn＜成立的n的最大值．
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