Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分別為AC、AB的中點，點F為線段CD上的一點，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁F⊥CD，如圖2.

(1)求證：DE∥平面A₁CB；

(2)求證：A₁F⊥BE；

(3)線段A₁B上是否存在點Q，使A₁C⊥平面DEQ？說明理由．

Answer 1

[解析]　(1)證明：因為D、E分別為AC、AB的中點，

所以DE∥BC.

又因為DE⊄平面A₁CB，所以DE∥平面A₁CB.

(2)證明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，

所以DE⊥AC，所以DE⊥A₁D，DE⊥CD.

所以DE⊥平面A₁DC.

而A₁F⊂平面A₁DC，所以DE⊥A₁F.

又因為A₁F⊥CD，所以A₁F⊥平面BCDE.

所以A₁F⊥BE.

(3)線段A₁B上存在點Q，使A₁C⊥平面DEQ.

理由如下：

如圖，分別取A₁C、A₁B的中點P、Q，則PQ∥BC.

又因為DE∥BC，所以DE∥PQ，

所以平面DEQ即為平面DEP.

由(2)知，DE⊥平面A₁DC，

所以DE⊥A₁C.

又因為P是等腰直角三角形DA₁C底邊A₁C的中點，

所以A₁C⊥DP.

所以A₁C⊥平面DEP.從而A₁C⊥平面DEQ.

故線段A₁B上存在點Q，使得A₁C⊥平面DEQ.

[點評]　1.本題考查了線面平行，線面垂直的判定定理，性質(zhì)定理，折疊問題，存在性問題等．

2．對于折疊問題，關(guān)鍵是看清折疊前后各量的變化與不變(包括長度、角度、位置關(guān)系等)，對于存在性問題，一般采取先找再證(取特例)的辦法解決．