Question

13．求和：1²-3²+5²-7²+…+（-1）ⁿ⁺¹（2n-1）²=$\left\{\begin{array}{l}{-2{n}^{2}，n為偶數(shù)}\\{2{n}^{2}-1，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 當(dāng)n=2k（k∈N^*）時，原式=（1-3）（1+3）+（5-7）（5+7）+…+[（2n-3）-（2n-1）][（2n-3）+（2n-1）]，化簡利用等差數(shù)列的前n項和公式即可得出；當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時，原式=-2（n-1）²+（-1）ⁿ⁺¹（2n-1）²，化簡即可得出．

解答 解：當(dāng)n=2k（k∈N^*）時，原式=（1-3）（1+3）+（5-7）（5+7）+…+[（2n-3）-（2n-1）][（2n-3）+（2n-1）]
=-2×[1+3+5+…+（2n-1）]
=-2×$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=-2n²．
當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時，原式=-2（n-1）²+（-1）ⁿ⁺¹（2n-1）²
=-2（n-1）²+（-1）ⁿ⁺¹（2n-1）²．
=2n²-1．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{-2{n}^{2}，n為偶數(shù)}\\{2{n}^{2}-1，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的前n項和公式、數(shù)列分組求和，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．