Question

設a∈R，向量m=（a，1），函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過坐標原點，f′（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)．已知A（-1，f′（-1）），B（x，x²），f′（x）=

AB

•m．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f(x)=

a

2

(x+1)2-

x2

4

在區(qū)間[-1，1]上有兩個不相等的實數(shù)根，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若a=2，設數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，4a_n=2f'（a_n-1）-3（n=2，3，4，…）．求證：an＞22n-1-1（n∈N*）．

Answer 1

分析：（I）由題設知

AB

=(x+1，x2-f′(-1))，f′(x)=

AB

•m=a（x+1）+x²-f'（-1）．f′(-1)=

1

2

．由y=f（x）的圖象過原點，知f(x)=

1

3

x3+

a

2

x2+(a-

1

2

)x．
（II）原方程整理為a=

2

3

x3+

1

2

x2-x．令g(x)=

2

3

x3+

1

2

x2-x，則g'（x）=2x²+x-1．再由函數(shù)的增減性知要使原方程在[-1，1]上有兩個不相等的實數(shù)根，則須使-

7

24

＜a≤

1

6

．從而得到a的取值范圍．
（III）a=2時，f′(x)=x2+2x+

3

2

．所以（a_n-1+1）²=2a_n+1＜2（a_n+1），令c_n=a_n+1，則c₁=4，2c_n＞c_n-1²（n≥2）．然后兩邊同時取對數(shù)，再結(jié)合題設條件進行求解．

解答：解：（I）∵

AB

=(x+1，x2-f′(-1))，
∴f′(x)=

AB

•m=a（x+1）+x²-f'（-1）．
令x=-1，則f'（-1）=a（x+1）+（-1）²-f'（-1），解得f′(-1)=

1

2

．
∴f′(x)=x2+ax+a-

1

2

．
∵y=f（x）的圖象過原點，
∴f(x)=

1

3

x3+

a

2

x2+(a-

1

2

)x．（4分）
（II）原方程可以整理為a=

2

3

x3+

1

2

x2-x．
令g(x)=

2

3

x3+

1

2

x2-x，則g'（x）=2x²+x-1．
由g'（x）=0有x=-1或x=

1

2

，
且當x＜-1或x＞

1

2

時g'（x）＞0，當-1＜x＜

1

2

時g'（x）＜0．
∴在x∈[-1，1]時，g（x）在[-1，

1

2

]上是減函數(shù)，在[

1

2

，1]上是增函數(shù)，（8分）
∴在[-1，1]上g(x)min=g(

1

2

)=-

7

24

．
又g(-1)=

5

6

＞g(1)=

1

6

，
∴要使原方程在[-1，1]上有兩個不相等的實數(shù)根，則須使-

7

24

＜a≤

1

6

．
即a的取值范圍為(-

7

24

，   

1

6

]．（10分）
（III）a=2時，f′(x)=x2+2x+

3

2

．
∴4a_n=2（

a

2 n-1

+2an-1+

3

2

）-3，整理得2a_n=a_n-1²+2a_n-1（n≥2）．
變形得（a_n-1+1）²=2a_n+1＜2（a_n+1），
令c_n=a_n+1，則c₁=4，2c_n＞c_n-1²（n≥2）．
兩邊同取對數(shù)有l(wèi)og₂（2c_n）＞log₂c_n-1²，即1+log₂c_n＞2log₂c_n-1．
令d_n=log₂c_n，則d₁=2，且1+d_n＞2d_n-1，
∴d_n-1＞2（d_n-1-1）（n≥2），
∴d_n-1＞2（d_n-1-1）＞2²（d_n-2-1）＞＞2^n-1（d₁-1）=2^n-1，
∴d_n＞1+2^n-1＞2^n-1，
∴c_n=2dn＞22n-1，
∴a_n＞22n-1-1（n≥2）．
當n=1時，a₁=3＞221-1-1=1，即不等式也成立，
∴a_n＞22n-1-1（n∈N*）．（14分）

點評：本題考查數(shù)列和不等式的合理運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．