Question

已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2-2x,

(1)若函數(shù)f(x)在x=2處取得極值,求實(shí)數(shù)a的值.

(2)若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(3)當(dāng)a=-時(shí),關(guān)于x的方程f(x)=-x+b在[1,4]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

Answer 1

【解析】(1)由題意,得f′(x)=-(x>0),

因?yàn)閤=2時(shí),函數(shù)f(x)取得極值,所以f′(2)=0,解得a=-,經(jīng)檢驗(yàn),符合題意.

(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),依題意,f′(x)≥0在x>0時(shí)恒成立,即ax²+2x-1≤0在x>0時(shí)恒成立,則a≤=-1在x>0時(shí)恒成立,

即a≤(x>0),

當(dāng)x=1時(shí),-1取最小值-1,所以a的取值范圍是(-∞,-1].

(3)當(dāng)a=-時(shí),f(x)=-x+b,即x²-x+lnx-b=0.

設(shè)g(x)=x²-x+lnx-b(x>0),則g′(x)=,

當(dāng)x變化時(shí),g′(x),g(x)的變化情況如下表

x	(0,1)	1	(1,2)	2	(2,4)
g′(x)	+	0	-	0	+
g(x)	↗	極大	↘	極小	↗

所以g(x)_極小值=g(2)=ln2-b-2,g(x)_極大值=g(1)=-b-,

又g(4)=2ln2-b-2,

因?yàn)榉匠蘥(x)=0在[1,4]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

則解得ln2-2<b≤-,

所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是(ln2-2,-).