Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x（e為自然對數(shù)的底數(shù)），（n∈N^*）．
（1）證明：f（x）≥g₁（x）；
（2）當(dāng)x＞0時，比較f（x）與g_n（x）的大小，并說明理由；
（3）證明：（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)，可得函數(shù)φ₁（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，在x=0處取得唯一極小值，從而可得對任意實數(shù)x均有 φ₁（x）≥φ₁（0）=0，即可得到結(jié)論；
（2）當(dāng)x＞0時，f（x）＞g_n（x），用數(shù)學(xué)歸納法證明，第2步證明的關(guān)鍵是證明φ_k+1（x）=f（x）-g_k+1（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
（3）先證對任意正整數(shù)n，g_n（1）＜e，再證對任意正整數(shù)n，=，利用分析法、再利用數(shù)學(xué)歸納法和基本不等式法可以證明結(jié)論．
解答：（1）證明：設(shè)，
所以．…（1分）
當(dāng)x＜0時，，當(dāng)x=0時，，當(dāng)x＞0時，．
即函數(shù)φ₁（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，在x=0處取得唯一極小值，…（2分）
因為φ₁（0）=0，所以對任意實數(shù)x均有 φ₁（x）≥φ₁（0）=0．
即f（x）-g₁（x）≥0，
所以f（x）≥g₁（x）．…（3分）
（2）解：當(dāng)x＞0時，f（x）＞g_n（x）．…（4分）
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=1時，由（1）知f（x）＞g₁（x）．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時，對任意x＞0均有f（x）＞g_k（x），…（5分）
令φ_k（x）=f（x）-g_k（x），φ_k+1（x）=f（x）-g_k+1（x），
因為對任意的正實數(shù)x，，
由歸納假設(shè)知，．…（6分）
即φ_k+1（x）=f（x）-g_k+1（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，亦即φ_k+1（x）＞φ_k+1（0），
因為φ_k+1（0）=0，所以φ_k+1（x）＞0．
從而對任意x＞0，有f（x）-g_k+1（x）＞0．
即對任意x＞0，有f（x）＞g_k+1（x）．
這就是說，當(dāng)n=k+1時，對任意x＞0，也有f（x）＞g_k+1（x）．
由①、②知，當(dāng)x＞0時，都有f（x）＞g_n（x）．…（8分）
（3）證明：先證對任意正整數(shù)n，g_n（1）＜e．
由（2）知，當(dāng)x＞0時，對任意正整數(shù)n，都有f（x）＞g_n（x）．
令x=1，得g_n（1）＜f（1）=e．
所以g_n（1）＜e．…（9分）
再證對任意正整數(shù)n，=．
要證明上式，只需證明對任意正整數(shù)n，不等式成立．
即要證明對任意正整數(shù)n，不等式（*）成立．…（10分）
以下分別用數(shù)學(xué)歸納法和基本不等式法證明不等式（*）：
方法1（數(shù)學(xué)歸納法）：
①當(dāng)n=1時，成立，所以不等式（*）成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時，不等式（*）成立，
即．…（11分）
則．
因為，…（12分）
所以．…（13分）
這說明當(dāng)n=k+1時，不等式（*）也成立．
由①、②知，對任意正整數(shù)n，不等式（*）都成立．
綜上可知，對任意正整數(shù)n，不等式成立．
…（14分）
方法2（基本不等式法）：
因為，…（11分），
…，，
將以上n個不等式相乘，得．…（13分）
所以對任意正整數(shù)n，不等式（*）都成立．
綜上可知，對任意正整數(shù)n，不等式成立．
…（14分）
點評：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、數(shù)學(xué)歸納法、二項式定理等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與討論的數(shù)學(xué)思想方法，以及運算求解能力．