Question

已知函數(shù)。（為常數(shù)，）

（Ⅰ）若是函數(shù)的一個極值點，求的值；

（Ⅱ）求證：當時，在上是增函數(shù)；

（Ⅲ）若對任意的，總存在，使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）實數(shù)的取值范圍為

【解析】

試題分析：（Ⅰ）函數(shù)，是函數(shù)的一個極值點，先求出其導函數(shù)：，利用是函數(shù)的一個極值點對應(yīng)的結(jié)論，即時，它的導函數(shù)值為零，可令，即可求的值；（Ⅱ）求證：當時，在上是增函數(shù)，由于含有對數(shù)函數(shù)，可通過求導來證明，因此利用：，在時，分析出因式中的每一項都大于等于0，即得，從而可證明結(jié)論；（Ⅲ）先由（Ⅱ）知，在上的最大值為，把問題轉(zhuǎn)化為對任意的，不等式恒成立；然后再利用導函數(shù)研究不等式左邊的最小值看是否符合要求即可求實數(shù)的取值范圍為．

試題解析：

（Ⅰ）由已知，得且，

                                                      3分

（Ⅱ）當時， 

當時，  又   

故在上是增函數(shù)                                         6分

（Ⅲ）時，由（Ⅱ）知，在上的最大值為

于是問題等價于：對任意的，不等式恒成立。

記

則

當時，  在區(qū)間上遞減，此時

由于，時不可能使恒成立，故必有

若，可知在區(qū)間上遞減，在此區(qū)間上，有

，與恒成立相矛盾，故，這時，

在上遞增，恒有，滿足題設(shè)要求，

     即

實數(shù)的取值范圍為                                       14分

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，導數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．