Question

已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在，所表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）實(shí)數(shù)的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)條件，可以利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，當(dāng)時(shí)，，，

由，解得，由，解，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）根據(jù)不等式恒成立的條件，可知問題等價(jià)于當(dāng)時(shí)，不等式，構(gòu)造函數(shù)，則只需，將且轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問題解決，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性后利用單調(diào)性求出最大值即可得證 .

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，，

由，解得，由，解，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，

則當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即恒成立，

設(shè)，只需即可．

由，

（�。┊�(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

故成立，

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由，∵，∴，

①若，即時(shí)，在區(qū)間上，，

則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上無(wú)最大值（或：時(shí)，），此時(shí)不滿足條件；

②若，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，同樣在上無(wú)最大值，不滿足條件；

（ⅲ）當(dāng)時(shí)，由，∵，∴，

∴，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立，

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)極值.