Question

一般地，如果函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱，那么對(duì)定義域內(nèi)的任意x，則f（x）+f（2a-x）=2b恒成立．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．
（1）求常數(shù)m的值；
（2）解方程：；
（3）求證：（n∈N⁺）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，可得f（x）+f（1-x）=1，代入化簡(jiǎn)，可得結(jié)論；
（2）由（1）知，，代入化簡(jiǎn)方程，可求方程的解；
（3）利用f（x）+f（1-x）=1，倒序相加，可得結(jié)論．
解答：（1）解：∵函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，∴f（x）+f（1-x）=1
∴+=1
∴+=1，∴m=2；
（2）解：由（1）知，
∵
∴
∴[]²--2=0
∴=2或
∴x=；
（3）證明：設(shè)可寫成 
兩式相加，∵f（x）+f（1-x）=1
∴，所以．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的對(duì)稱性，考查對(duì)數(shù)方程，考查等式的證明，正確運(yùn)用函數(shù)的對(duì)稱性是關(guān)鍵．