Question

一般地，如果函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱，那么對(duì)定義域內(nèi)的任意x，則f（x）+f（2a-x）=2b恒成立．已知函數(shù)f(x)=

4x

4x+m

的定義域?yàn)镽，其圖象關(guān)于點(diǎn)M(

1

2

，

1

2

)對(duì)稱．
（1）求常數(shù)m的值；
（2）解方程：log2[1-f(x)]log2[4-xf(x)]=2；
（3）求證：f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-2

n

)+f(

n-1

n

)+f(

n

n

)=

3n+1

6

（n∈N⁺）．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)f(x)=

4x

4x+m

的圖象關(guān)于點(diǎn)M(

1

2

，

1

2

)對(duì)稱，可得f（x）+f（1-x）=1，代入化簡(jiǎn)，可得結(jié)論；
（2）由（1）知，f(x)=

4x

4x+2

，代入化簡(jiǎn)方程，可求方程的解；
（3）利用f（x）+f（1-x）=1，倒序相加，可得結(jié)論．

解答：（1）解：∵函數(shù)f(x)=

4x

4x+m

的圖象關(guān)于點(diǎn)M(

1

2

，

1

2

)對(duì)稱，∴f（x）+f（1-x）=1
∴

4x

4x+m

+

41-x

41-x+m

=1
∴

4x

4x+m

+

4

m•4x+4

=1，∴m=2；
（2）解：由（1）知，f(x)=

4x

4x+2

∵log2[1-f(x)]log2[4-xf(x)]=2
∴log2(1-

4x

4x+2

)log2(4-x•

4x

4x+2

)=2
∴[log2(4x+2)]²-log2(4x+2)-2=0
∴log2(4x+2)=2或log2(4x+2)=-1
∴x=

1

2

；
（3）證明：設(shè)g(n)=f(

1

n

)+f(

2

n

)+f(

3

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(

n

n

)可寫成g(n)=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+f(

n-3

n

)+…+f(

1

n

)+f(

n

n

) 
兩式相加，∵f（x）+f（1-x）=1
∴2g(n)=n-1+2f(

n

n

)=n-1+2f(1)=

3n+1

3

，所以g(n)=

3n+1

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的對(duì)稱性，考查對(duì)數(shù)方程，考查等式的證明，正確運(yùn)用函數(shù)的對(duì)稱性是關(guān)鍵．