Question

8．指出函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+4x+5}{{x}^{2}+4x+4}$的單調(diào)區(qū)間，并比較f（-π）與f（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）的大�。�

Answer 1

分析 利用分式函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行比較即可．

解答 解：f（x）=$\frac{{x}^{2}+4x+5}{{x}^{2}+4x+4}$=$\frac{{x}^{2}+4x+4+1}{{x}^{2}+4x+4}$=1+$\frac{1}{{x}^{2}+4x+4}$=1+$\frac{1}{（x+2）^{2}}$，
則x≠-2，
設(shè)t=（x+2）²，則y=1+$\frac{1}{t}$則（0，+∞）上為減函數(shù)，
當(dāng)x＞-2時(shí)，函數(shù)t=（x+2）²，為增函數(shù)，則函數(shù)f（x）為減函數(shù)，則此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為（-2，+∞），
當(dāng)x＜-2時(shí)，函數(shù)t=（x+2）²，為減函數(shù)，則函數(shù)f（x）為增函數(shù)，則此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-2），
則f（-π）=1+$\frac{1}{（2-π）^{2}}$=1+$\frac{1}{（π-2）^{2}}$，f（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=1+$\frac{1}{（2-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$，
∵π-2＞2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞0，
∴f（-π）＜f（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及分式函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．