Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a{x}^{2}+x+a}{{e}^{x}}$，若當x∈[0，2]時，f（x）≥$\frac{1}{{e}^{2}}$恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 當x∈[0，2]時，f（x）≥$\frac{1}{{e}^{2}}$，化為a≥$\frac{{e}^{x-2}-x}{{x}^{2}+1}$=g（x）．當x∈[0，2]時，f（x）≥$\frac{1}{{e}^{2}}$恒成立?g（x）_max≤a，x∈[0，2]．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：當x∈[0，2]時，f（x）≥$\frac{1}{{e}^{2}}$，化為a≥$\frac{{e}^{x-2}-x}{{x}^{2}+1}$=g（x）．
當x∈[0，2]時，f（x）≥$\frac{1}{{e}^{2}}$恒成立?g（x）_max≤a，x∈[0，2]．
g′（x）=$\frac{（{e}^{x-2}-1）（{x}^{2}+1）-（{e}^{x-2}-x）2x}{（{x}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{（x-1）[{e}^{x-2}（x-1）+x+1]}{（{x}^{2}+1）^{2}}$．
令h（x）=e^x-2（x-1）+（x+1），則h′（x）=xe^x-2+1＞0，
∴h（x）在x∈[0，2]時單調(diào)遞增，
∴h（x）≥h（0）=1-$\frac{1}{{e}^{2}}$＞0．
令g′（x）＞0，解得1＜x≤2，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；令g′（x）＜0，解得0≤x＜1，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
而g（0）=$\frac{1}{{e}^{2}}$，g（2）=$\frac{-1}{5}$．
∴a≥$\frac{1}{{e}^{2}}$．
∴a的取值范圍是$[\frac{1}{{e}^{2}}，+∞）$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分離參數(shù)法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．