Question

某企業(yè)擬共用10萬元投資甲、乙兩種商品．已知各投入x萬元，甲、乙兩種商品可分別獲得y₁，y₂萬元的利潤，利潤曲線P₁，P₂如圖，仔細(xì)觀察圖象，為使投資獲得最大利潤，應(yīng)怎樣分配投資額，才能獲最大利潤．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)函數(shù)的模型設(shè)出函數(shù)解析式，從兩個圖中分別找出特殊點(diǎn)坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式求出兩個函數(shù)解析式．將企業(yè)獲利表示成對產(chǎn)品乙投資x的函數(shù)；將函數(shù)中的 換元為t，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，求出對稱軸，求出函數(shù)的最值．
解答：解：投資為x萬元，
甲、乙兩產(chǎn)品獲得的利潤分別為g（x）、f（x）萬元，
由題意，g（x）=k₁x，f（x）=k₂ ，（k₁，k₂≠0；x≥0）（3分）
又由圖知g（1）=1.25，f（4）=2.5；
解得k₁= 甲，k₂=，
∴g（x）=x（x≥0）；f（x）=（x≥0）（8分）
再設(shè)對甲產(chǎn)品投資x萬元，則對乙產(chǎn)品投資（10-x）萬元，
記企業(yè)獲取的利潤為y萬元，
則y=（10-x）+（x≥0）（10分）
設(shè) =t，則x=t²，（0≤t≤）
∴y=-（t-）²+，當(dāng)t=也即x=時(shí)，y取最大值 （14分）
答：對甲產(chǎn)品投資 萬元，對乙產(chǎn)品投資 萬元時(shí)，可獲最大利潤 萬元．
點(diǎn)評：本題考查將實(shí)際問題的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題、考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、考查換元法注意新變量的范圍、二次函數(shù)的最值與對稱軸有關(guān)．