Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，以原點為圓心，橢圓的短軸端點與雙曲線

y2

2

-x2=1的焦點重合，過點P（4，0）且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求

OA

•

OB

的取值范圍；
（Ⅲ）若B點關(guān)于x軸的對稱點是E，證明：直線AE與x軸相交于定點．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：向量與圓錐曲線

分析：（Ⅰ）由已知橢圓的離心率得到a，b的關(guān)系，結(jié)合雙曲線的焦點坐標求得橢圓的短半軸，結(jié)合隱含條件得答案；
（Ⅱ）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由判別式大于0求得k的范圍，把

OA

•

OB

代入根與系數(shù)關(guān)系化為含有k的代數(shù)式，由k的范圍求得

OA

•

OB

的取值范圍；
（Ⅲ）求出B點關(guān)于x軸的對稱點的坐標，寫出直線AE的方程，求得與x軸的交點的橫坐標，代入（Ⅰ）的根與系數(shù)關(guān)系得答案．

解答： （Ⅰ）解：由題意知，e=

1

2

，
∴

c

a

=

1

2

，即

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

4

，
又雙曲線的焦點坐標為(0，±

3

)，
∴b=

3

，代入①得a=2．
∴故橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）解：由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x-4），
由

y=k(x-4) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0．
由△=（-32k²）²-4•（3+4k²）（64k²-12）＞0，得：k2＜

1

4

，即-

1

2

＜k＜

1

2

．
設(shè)A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），
則x1+x2=

32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

  ①，
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=(1+k2)•x₁x₂-4k2(x1+x2)+16k2
=(1+k2)•

64k2-12

3+4k2

-4k²•

32k2

4k2+3

+16k²=25-

87

4k2+3

，
∵-

1

2

＜k＜

1

2

，
∴-

87

3

≤-

87

4k2+3

＜-

87

4

，
∴

OA

•

OB

∈[-4，

13

4

)，
∴

OA

•

OB

的取值范圍是[-4，

13

4

)；
（Ⅲ）證明：∵B，E關(guān)于x軸對稱，
∴點E的坐標為（x₂，-y₂），
直線AE的方程為y-y1=

y1+y2

x1-x2

(x-x1)，
令y=0，得x=

x1y2+x2y1

y1+y2

，
又y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4），
∴x=

x1y2+x2y1

y1+y2

=

kx1(x2-4)+kx2(x1-4)

k(x1+x2-8)

=

2x1x2-4(x1+x2)

x1+x2-8

．
把①式代入得x=

2• 64k2-12 3+4k2 -4• 32k2 3+4k2

32k2 3+4k2 -8

=

-24 3+4k2

-24 3+4k2

=1．
∴直線與x軸相交于定點（1，0）．

點評：本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考生具備較強的運算推理的能力，是壓軸題．