Question

四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，又PA＝PD，∠APD＝60°，E、G分別是BC、PE的中點(diǎn)．

(1)求證：AD⊥PE；

(2)求二面角E－AD－G的正切值．

 

Answer 1

【答案】

（1）AD⊥PE；（2）.

【解析】

試題分析：（1）證明線線垂直要通過線面垂直證明，題中所給側(cè)面PAD⊥底面ABCD是面面垂直，通過取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)OP，OE，∵PA＝PD，∴OP⊥AD，而OE⊥AD.，則AD⊥平面OPE.，從而能夠證出AD⊥PE..（2）求二面角E－AD－G的正切值可以通過兩種方法：①常規(guī)方法，作出二面角的平面角，并求出，取OE的中點(diǎn)F，連結(jié)FG，OG，則由(1)易知AD⊥OG，又OE⊥AD，∴∠GOE就是二面角E－AD－G的平面角，再利用三角形中邊長關(guān)系求出∠GOE的正切值；②空間向量法，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，寫出已知點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)平面ADG的法向量為，根據(jù)，求出

，而平面EAD的一個(gè)法向量為，再根據(jù)求出.

試題解析：（1）如圖，取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)OP，OE，∵PA＝PD，∴OP⊥AD，

又E是BC的中點(diǎn)，∴OE∥AB，∴OE⊥AD.

又OP∩OE＝0，∴AD⊥平面OPE.

∵PE?平面OPE，∴AD⊥PE.

（2）解法一：取OE的中點(diǎn)F，連結(jié)FG，OG，則由(1)易知AD⊥OG，

又OE⊥AD，∴∠GOE就是二面角E－AD－G的平面角，

∵PA＝PD，∠APD＝60°，

∴△APD為等邊三角形，且邊長為2，

∴OP＝×2＝，FG＝OP＝，OF＝CD＝1，

∴OG＝，∴cos∠GOE＝

解法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，D(－1,0,0)，P(0,0，)，E(0,2,0)，

∴

設(shè)平面ADG的法向量為，

由得，

∴.

又平面EAD的一個(gè)法向量為，

又因?yàn)?/span>.

考點(diǎn)：1.線線垂直的證明；2.二面角的求解.