在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足2bcosA=ccosA+acosC．
（1）求角A的大�。�
（2）若a=
3
，S△ABC=
3
3
4
，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．
分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡，根據(jù)sinB不為0求出cosA的值，由A的范圍即可確定出A的度數(shù)；
（2）利用三角形的面積公式列出關(guān)系式，將sinA與已知面積代入求出bc的值，再由余弦定理列出關(guān)系式，將cosA，a的值代入求出b2+c2的值，聯(lián)立求出b與c的值，即可確定出三角形的形狀．
解答：解：（1）由2bcosA=ccosA+acosC及正弦定理，得2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，即sinB（2cosA-1）=0，
∵0＜B＜π，∴sinB≠0，
∴cosA=
1
2
，
∵0＜A＜π，
∴A=
π
3
；
（2）∵S△ABC=
1
2
bcsinA=
3
3
4
，即
1
2
bcsin
π
3
=
3
3
4
，
∴bc=3，①
∵a2=b2+c2-2bccosA，a=
3
，A=
π
3
，
∴b2+c2=6，②
由①②得b=c=
3
，
則△ABC為等邊三角形．
點評：此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識有：正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若b2+c2-a2=
3
bc，且b=
3
a，則下列關(guān)系一定不成立的是（　　）
A、a=c
B、b=c
C、2a=c
D、a2+b2=c2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B=60°，cos（B+C）=-
1114
．
（1）求cosC的值；
（2）若bcosC+acosB=5，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且bsinA=
3
acosB．
（1）求角B的大�。�
（2）若a=4，c=3，D為BC的中點，求△ABC的面積及AD的長度．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c并且滿足
b
a
=
sinB
cosA
．
（1）求∠A的值；
（2）求用角B表示
2
sinB-cosC，并求它的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且a=
5
，b=3，sinC=2sinA，則sinA=
 
．

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