Question

對任意實(shí)數(shù)x，不等式|x-

5

2

|-a²＞

1

2

（4a-|2x+1|）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

[-3，1]

．

Answer 1

分析：由題設(shè)知|x-

5

2

|-

1

2

|2x+1|＞a²+2a．由x-

5

2

=0，得x=

5

2

；由2x+1=0，得x=-

1

2

．①當(dāng)x≥

5

2

時(shí)，a²+2a+3＜0，a∈∅；當(dāng)-

1

2

≤x＜

5

2

時(shí)，a²+2a≤3，解得-3≤a≤1；當(dāng)a＜-

1

2

時(shí)，a²+2a＜3，解得-3＜a＜1．綜上所述-3≤a≤1．

解答：解：∵對任意實(shí)數(shù)x，不等式|x-

5

2

|-a²＞

1

2

（4a-|2x+1|）恒成立，
∴|x-

5

2

|-

1

2

|2x+1|＞a²+2a，（*）
由x-

5

2

=0，得x=

5

2

；由2x+1=0，得x=-

1

2

．
①當(dāng)x≥

5

2

時(shí)，由（*）式，得x-

5

2

-x-

1

2

＞a2+2a，
即a²+2a+3＜0，
∴a∈∅；
②當(dāng)-

1

2

≤x＜

5

2

時(shí)，由（*）式，得

5

2

-x-x-

1

2

＞a²+2a，
即a²+2a＜2-2x，
∵-

1

2

≤x＜

5

2

，∴-3＜2-2x≤3，
∴a²+2a≤3，
解得-3≤a≤1；
③當(dāng)a＜-

1

2

時(shí)，
由（*）式，得x-

5

2

+x+

1

2

＞a2+2a，
即a²+2a＜3，
解得-3＜a＜1．
綜上所述，-3≤a≤1．
故答案為：[-3，1]．

點(diǎn)評：本題考查一元二次不等式的解法，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)恒成立的靈活運(yùn)用．