Question

已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，兩準線間的距離為1．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）直線l過點P（0，2）且與橢圓相交于A、B兩點，當△AOB面積取得最大值時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先設出橢圓標準方程，根據(jù)題意可知b=c，根據(jù)準線方程求得c和a的關(guān)系，進而求得a，b和c，則橢圓方程可得．
（Ⅱ）設出直線l的方程和A，B的坐標，進而把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，根據(jù)判別式大于0求得k的范圍，根據(jù)韋達定理求得x₁+x₂，x₁x₂的表達式，表示出|AB|，求得原點到直線的距離，進而表示出三角形的面積，兩邊平方根據(jù)一元二次方程，建立關(guān)于S的不等式，求得S的最大值，進而求得k，則直線方程可得．
解答：解：設橢圓方程為
（Ⅰ）由已知得
∴所求橢圓方程為．
（Ⅱ）由題意知直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由，消去y得關(guān)于x的方程：
（1+2k²）x²+8kx+6=0
由直線l與橢圓相交于A、B兩點，
∴△＞0⇒64k²-24（1+2k²）＞0
解得
又由韋達定理得
∴=
原點O到直線l的距離
∵．
對兩邊平方整理得：4S²k⁴+4（S²-4）k²+S²+24=0（*）
∵S≠0，
整理得：
又S＞0，∴
從而S_△AOB的最大值為，
此時代入方程（*）得4k⁴-28k²+49=0∴
所以，所求直線方程為：．
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和橢圓與直線的關(guān)系．考查了學生分析問題和基本運算的能力．