Question

如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為a．
（1）求A′B和B′C的夾角；
（2）求證：A′B⊥AC′．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),異面直線及其所成的角

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由B′C∥A′D可知，A′B和B′C的夾角等價(jià)于A′B與A′D的夾角，分別求出A′D，BD，A′B的值，即可求出其值；
（2）連接AB′，先證明A′B⊥B′C′，又由A′B⊥AB′（正方形的對(duì)角線），可證A′B⊥面AB′C′，即可證明A′B⊥AC′．

解答： 解：（1）如圖，連接A′D，BD，
∵正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為a．
∴A′D=

2

a，BD=

2

a，A′B=

2

a，
∴∠BA′D=

π

3

，
∵A′D∥B′C，
∴A′B和B′C的夾角為

π

3

；
（2）連接AB′，
∵B′C′⊥面ABA′B′，
∴A′B⊥B′C′
又∵A′B⊥AB′（正方形的對(duì)角線）
∴A′B⊥面AB′C′
∴A′B⊥AC′．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，異面直線及其所成的角的求法，屬于基本知識(shí)的考查．