Question

如圖，已知過原點(diǎn)O的直線與函數(shù)y=log₈x的圖象交于A，B兩點(diǎn)，分別過A，B作y軸的平行線與函數(shù)y=log₂x的圖象交于C，D兩點(diǎn)；若BC∥x軸，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為

（

3

，

1

6

log23）

．

Answer 1

分析：設(shè)出A、B的坐標(biāo)，解出C、D的坐標(biāo)，根據(jù)OC、OD的斜率相等，利用三點(diǎn)共線得出A、B的坐標(biāo)之間的關(guān)系．再根據(jù)BC平行x軸，B、C縱坐標(biāo)相等，推出橫坐標(biāo)的關(guān)系，結(jié)合之前得出A、B的坐標(biāo)之間的關(guān)系即可求出A的坐標(biāo)．

解答：解：設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，
由題設(shè)知，x₁＞1，x₂＞1．則點(diǎn)A、B縱坐標(biāo)分別為log₈x₁，log₈x₂，
因?yàn)锳、B在過點(diǎn)O的直線上，所以

log8x1

x1

=

log8x2

x2

，
點(diǎn)C、D坐標(biāo)分別為（x₁，log₂x₁），（x₂，log₂x₂）．
由于BC平行于x軸，可知，
log₂x₁=log₈x₂，
即得log₂x₁=

1

3

log₂x₂，
∴x₂=

x

3 1

．
代入x₂log₈x₁=x₁log₈x₂，得x₁²log₈x₁=3x₁log₈x₁．
由于x₁＞1知log₈x₁≠0，
∴x₁²=3x₁．
考慮x₁＞1，解得x₁=

3

．
于是點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

3

，log8

3

），即A（

3

，

1

6

log23），
故答案為：（

3

，

1

6

log23）．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象、對(duì)數(shù)換底公式、對(duì)數(shù)方程、指數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和分析問題的能力．屬于中檔題．