Question

12．函數(shù)f（x）=sinxcosx-cos²x+$\frac{1}{2}$在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值是（　　）

• A． -1
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 把函數(shù)解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式積特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由x的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值

解答 解：∵f（x）=sinxcosx-cos²x+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）
∴當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，
∴-$\frac{π}{4}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$，
∴當(dāng)2x-$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{4}$時(shí)，
函數(shù)$f（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$的最小值為$-\frac{1}{2}$，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．