Question

從原點出發(fā)的某質(zhì)點M，按向量=（0，1）移動的概率為，按向量=（0，2）移動的概率為，設(shè)可達(dá)到點（0，n）的概率為P_n，求：
（1）求P₁和P₂的值．
（2）求證：P_n+2=P_n+P_n+1．
（3）求P_n的表達(dá)式．

Answer 1

【答案】分析：（1）P₁為到達(dá)點（0，1）的概率，要到達(dá)（0，1）只有按向量 移動才可能，故P₁=，P₂為到達(dá)點（0，2）的概率，要到達(dá)（0，2）有兩種方法，第一種直接按向量 可到達(dá)；第二種兩次都按向量 走．故 ．
（2）找出P_n+2、P_n+1、P_n的關(guān)系即 ，即可得到答案．
（3）構(gòu)造新數(shù)列{P_n+1-P_n}是以P₂-P₁為首項，-為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列求和可得答案．
解答：解：（1）．P₁=．
（2）．證明：到達(dá)點（0，n+2）有兩種情況：從點（0，n）按向量移動；
從點（0，n+1）按向量=（0，1）移動，概率分別為P_n×與，所以．
（3）．由（2）得P_n+2-P_n+1=，故數(shù)列{P_n+1-P_n}是以P₂-P₁=為首項，為公比的等比數(shù)列，
故P_n+1-P_n=，
于是P_n-P₁=（∴．
點評：本題主要考查構(gòu)造等比數(shù)列的方法．等比數(shù)列是高考中必考題，有時題中的數(shù)列不是等比的，要通過自己構(gòu)造新的數(shù)列使之成為等比數(shù)列進(jìn)而解題．